Memahami Sifat-Sifat Bangun dan Hubungan Antarbangun

 A Mengidentifikasi Sifat-Sifat Bangun Datar

Mari kita mengulang tentang bangun. Ada dua jenis bangun, yaitu bangun datar dan bangun ruang. Bangun datar disebut juga bangun 2 dimensi (2 D), dan bangun ruang disebut juga bangun 3 dimensi (3 D). Tiap bangun mempunyai sifat-sifat, yang membedakan dengan bangun lainnya. Bangun datar berbeda dengan bangun ruang, karena sifatnya yang berbeda. Bahkan di antara bangun-bangun datar, atau bangun-bangun ruang sendiri, terdapat sifat-sifat yang berbeda.


1. Sifat-Sifat Bangun Datar
Tiap bangun datar mempunyai sifat-sifat yang berbeda. Apa saja sifat bangun datar? Perhatikan uraian berikut.
a. Segitiga
Segitiga adalah bangun datar yang memiliki tiga sisi dan tiga titik sudut. Segitiga ada bermacam-macam seperti disebutkan di bawah ini. Tiap jenis segitiga itu memiliki sifat-sifat masing-masing.
1) Segitiga sembarang
2) Segitiga samasisi
3) Segitiga samakaki
4) Segitiga siku-siku sembarang
5) Segitiga siku-siku samakaki
Setiap segitiga jumlah sudut-sudutnya adalah 180º. Mari kita buktikan dengan kegiatan berikut.
• Gambar sembarang segitiga pada sehelai kertas.
• Gungtinglah segitiga itu menjadi 3 bagian yang sudut-sudutnya berbeda.
• Buat sebuah garis lurus pada kertas lain. Tentukan sebuah titik pada garis itu.
• Atur guntingan segitiga tadi dengan meletakkan titik sudutnya pada titik di garis. Perhatikan gambar di bawah ini.
b. Persegi panjang
Persegi panjang adalah bangun datar yang sisi-sisi berhadapan sama panjang, dan keempat sudutnya sikusiku.
c. Persegi
Persegi adalah bangun datar yang keempat sisinya sama, dan keempat sudutnya siku-siku.
d. Trapesium
Trapesium adalah bangun datar segiempat dengan dua buah sisinya yang berhadapan sejajar.
1) Trapesium sembarang
2) Trapesium samakaki
3) Trapesium siku-siku
e. Jajargenjang
Jajargenjang adalah bangun datar segiempat dengan sisi-sisinya yang berhadapan sejajar dan sama panjang.
f. Lingkaran
Lingkaran adalah bangun datar yang jarak semua titik pada lingkaran dengan titik pusat (P) sama panjang.
P : titik pusat lingkaran
g. Belah ketupat
Belah ketupat merupakah bangun datar segiempat, yang keempat sisinya sama, dan sudut-sudut yang berhadapan sama besar.
Belah ketupat disebut juga jajargenjang yang semua sisinya sama panjang.
h. Layang-layang
Bangun seperti gambar di samping ini disebut layang-layang.
i. Elips
Bangun datar seperti pada gambar di samping ini disebut elips. Garis a dan b merupakan sumbu simetri (sumbu lipat). Garis a dan b berpotongan tegak lurus (saling membentuk sudut 90∞).

1. 1. Menggambar Bangun Datar dari Sifat-Sifat Bangun Datar yang Diberikan

Untuk menggambar berbagai bangun datar, kita harus memiliki alat-alat berupa: mistar (penggaris), sepasang segitiga, jangka, dan pensil yang baik (selalu runcing).
a. Menggambar Segitiga Samasisi
Bagaimana menggambar segitiga samasisi, yang panjang sisinya 4 cm?
Caranya:
• Gambar ruas garis yang panjangnya 4 cm, namai ruas garis itu AB.
• Ukurkan jangka pada ruas garis AB, dengan bagian jangka yang tajam di A, dan putarkan jangka, sehingga membentuk busur di atas ruas garis AB. Σ Pindahkan bagian jangka yang tajam ke B, dan putar jangka sehingga membentuk busur yang akan berpotongan dengan busur pertama. Namai perpotongan itu C. Sekarang, hubungkan titik C dengan A dan B. Jadilah segitiga ABC samasisi.
b. Menggambar Segitiga Samakaki
Bagaimana menggambar segitiga ABC samakaki, yang alasnya 3 cm dan kaki-kakinya 5 cm? Caranya:
• Gambar ruas garis AC
• Ukurkan jangka pada penggaris sepanjang 5 cm, dan jangan sampai jangka berubah.
• Pasang bagian jangka yang tajam di titik A, putarlah jangka sehingga membentuk busur di atas ruas garis AC.
• Angkat jangka dan pasang bagian yang tajam di titik C, dan putarlah, sehingga membentuk busur yang berpotongan dengan busur pertama. Namai titik perpotongan itu B.
• Hubungkan titik B dengan A dan C. Jadilah segitiga samakaki yang dimaksud, AB = CB.
c. Menggambar Bangun Persegi
Banyak cara untuk menggambar persegi. Dapat menggunakan pojok siku-siku, sepasang segitiga, atau menggunakan mistar dan jangka. Mari kita gunakan sepasang segitiga untuk menggambar persegi. Perhatikan cara pemasangan kedua segitiga.
Caranya:
• Pasang kedua segitiga seperti terlihat pada gambar di atas. Dengan pemasangan seperti itu, telah terbentuk 2 sisi persegi yang akan digambar.
• Untuk menggambarkan sisi lainnya, ubah letak sepasang segitiga itu.
• Akhirnya kita akan mendapatkan sebuah bangun persegi.
Gunakan cara dan alat ini untuk menggambar persegi panjang dan jajargenjang.
d. Menggambar Trapesium
Untuk menggambar trapesium langkah-langkahnya seperti di bawah ini.
• Gambarlah ruas garis AB.
• Gambarlah ruas garis miring atau tegak dari titik A, misalnya ruas garis AD.
• Dari titik D, gambarlah ruas garis sejajar AB dan lebih pendek dari AB, misalnya ruas garis DC.
• Hubungkan titik C dengan B. Terbentuklah trapezium
e. Menggambar Belah Ketupat
Langkah-langkah menggambar belah ketupat.
• Gambarlah ruas garis AB.
• Gambarlah ruas garis miring dari titik A, yang sama panjangnya dengan AB, misalnya AD.
• Gambarlah ruas garis sejajar AB dari titik D, yang panjangnya sama dengan AD, namai DC.
• Hubungkan titik B dan C. Jadilah belah ketupat.
f. Menggambar Layang-Layang
Mari kita ikuti langkah-langkahnya.
• Gambar garis mendatar AC (Gambar (i)).
• Gambar ruas garis tegak lurus di tengah-tengah AC, misalnya ruas garis itu BD (Gambar (ii)).
• Hubungkan titik-titik ujung pada ruas garis-ruas garis tadi (Gambar (iii)).
• Hilangkan ruas garis-ruas garis yang saling tegak lurus tadi (Gambar (iv)).
g. Menggambar Lingkaran
Lingkaran mempunyai titik pusat. Besar kecilnya lingkaran bergantung pada jari-jari lingkaran. Untuk menggambar lingkaran diperlukanjangka dan penggaris. Perhatikan saja gambar berikut ini baik-baik.
h. Menggambar Elips
Pasanglah 2 paku kecil atau pines pada garis lurus berjauhan. Pasanglah gelang benang pada kedua paku/pines tadi. Gunakan ujung pensil untuk menarik benang itu agar lurus. Kemudian gerakkan ujung pensil memutar. Perhatikan benang harus dalam lurus terus.
B Mengidentifikasi Sifat-Sifat Bangun Ruang
Bangun ruang memiliki sifat-sifat tertentu. Mari kita perhatikan beberapa bangun di bawah ini.
a. Kubus
Kubus adalah prisma siku-siku khusus. Semua sisinya berupa persegi atau bujursangkar yang sama.
Sisinya = 6 buah,
Rusuknya = 12 buah,
Titik sudutnya = 8 buah,
b. Prisma Tegak
Prisma tegak adalah bangun ruang yang bagian atas dan bagian bawah sama.
1) Prisma Tegak Segiempat
Sisinya = 6 buah,
Rusuknya = 12 buah,
Titik sudut= 8 buah
2) Prisma Tegak Segitiga
Sisi = 5 buah.
2 segitiga, dan 3 persegi panjang.
Rusuk = 9 buah, Titik sudut= 6 buah,
c. Limas
Bagaimana sifat-sifat limas itu?
1) Limas Segiempat
Sisi = 5 buah,
Rusuk = 8 buah,
Titik sudut = 5 buah,
2) Prisma Segitiga
Sisi = 4 buah,
Rusuk = 6 buah,
Titik sudut = 4 buah,
d. Kerucut
Sisi kerucut ada 2, yaitu lingkaran (bawah), dan bidang
melengkung yang disebut selimut.
e. Tabung
Tabung adalah bangun ruang yang bagian atas dan bagian bawahnya berbentuk lingkaran yang sama.
Perhatikan gambar tabung di samping.
P : titik pusat lingkaran
r : radius atau jari-jari lingkaran
t : tinggi tabung
Bangun tabung dapat padat atau berongga. Tabung mempunyai 3 sisi, yaitu sisi bawah, sisi atas dan bidang yang melengkung (selimut), serta 2 rusuk.
f. Bola
Bola termasuk bangun ruang atau bangun tiga dimensi. Sisi bola berupa permukaan atau kulit bola, berupa bidang yang melengkung
4. Menggambar Bangun Ruang
Menggambar bangun ruang lebih mudah pada kertas berpetak atau bertitik. Pada kertas berpetak dan kertas bertitik telah ada bagianbagian (skala) yang sangat membantu dalam menggambar.
a. Menggambar Kubus
Langkah-langkah untuk menggambar kubus adalah:
• Gambarlah belah ketupat sebagai alas. Panjang sisi belah ketupat sama dengan panjang rusuk alas kubus.
• Gambarkan 4 ruas garis tegak lurus pada keempat titik sudut belah ketupat, yang panjangnya sama dengan panjang rusuk alas kubus.
• Hubungkan ke-4 ujung ruas garis seperti tampak pada gambar.
• Jadilah kubus yang kita inginkan.
b. Menggambar Prisma Tegak
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.
• Gambar jajargenjang sebagai alas. Panjang jajargenjang sama dengan panjang alas prisma tegak.
• Gambar 4 ruas garis tegak lurus pada ke-4 titik sudut jajargenjang, yang panjangnya sama dengan tinggi prisma tegak.
• Hubungkan keempat ujung ruas garis, seperti tampak pada gambar. Jadilah prisma tegak yang kita inginkan.
c. Menggambar Limas
Bagaimana langkah-langkah menggambar limas?
• Gambar jajargenjang yang panjang sisinya sama dengan rusuk alas limas.
• Gambar titik tegak lurus di atas titik perpotongan diagonal jajargenjang.
• Hubungkan titik di atas titik perpotongan diagonal, dengan semua titik sudut jajargenjang.
• Demikian terjadilah limas yang kita inginkan.
d. Mengambar Kerucut
Langkah-langkahnya adalah:
• Gambar elips (yang sebenarnya lingkaran) untuk sisi kerucut bagian bawah.
• Gambar titik tegak lurus di atas pusat elips, yang akan menjadi puncak kerucut.
• Buatlah dua garis yang menyinggung bagian kiri dan kanan elips.
• Selesailah gambar kita.
e. Menggambar Tabung
Langkah-langkah menggambar tabung sebagai berikut.
• Gambarlah elips untuk bagian bawah tabung.
• Gambar 2 ruang garis tegak lurus dan sejajar, masing-masing dari sumbu elips.
• Buat elips untuk bagian atas tabung.
C Menyelidiki Sifat-Sifat Kesebangunan dan Simetri

Bangun datar trapesium ABCD dan trapesium PQRS dikatakan sebangun. Sebangun artinya sama bangun trapesium, dan mempunyai ukuran yang sebanding. Panjang sisi-sisi yang bersesuaian antara kedua bangun itu sebanding atau senilai. Oleh karena itu, kedua bangun itu disebut sebangun. Sedangkan trapesium ABCD atau trapesium PQRS dengan trapesium KLMN tidak sebangun. Ukuran sisi-sisi yang bersesuaian tidak sebanding atau senilai. Jika 2 buah bangun datar sebangun dan memiliki bagian-bagian yang bersesuaian sama, dikatakan kedua bangun itu sama dan sebangun (kongruen).  Dua bangun dikatakan sama dan sebangun (kongruen), jika kedua bangun itu dapat saling berimpit.
1. Kesebangunan Antar Bangun-Bangun Datar
Sekarang kamu telah dapat membedakan sebangun dengan sama dan sebangun, bukan? Dari gambar-gambar di bawah ini, bangun mana yang sebangun dan mana yang sama dan sebangun (kongruen)? Selidiki bagian-bagian yang bersesuaian! Kesebangunan dua buah bangun datar ditentukan oleh sifatsifat yang dimiliki oleh kedua bangun itu, yaitu: bagian-bagian yang bersesuaian mempunyai panjang yang sebanding (senilai), dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
Contoh kesebangunan dalam kehidupan sehari-hari adalah:
gedung dan maketnya, orang dengan patungnya atau fotonya. Skala menunjukkan kesebangunan.
Jika gambar di samping ini dilipat pada garis g, maka bangun ABCD dan PQRS akan berimpit. Kedua bangun itu saling menutupi. Dikatakan bangun ABCD dan bangun PQRS kongruen. Kedua bangun itu mempunyai sifat-sifat yang sama:
sisi AB = PQ, BC = QR, CD = RS,
DA = SP, dan sudut-sudutnya sama
besar. segitiga, dengan sifat-sifatnya. Katakan, sebangun atau sama dan sebangun kedua segitiga itu.
2. Simetri Lipat dan Simetri Putar suatu Bangun
Simetri berarti seimbang pada bagian atas, bawah, kanan, dan kiri. Jika kedua belah bagian suatu benda sama, dikatakan simetris, atau setangkup. Marilah kita pelajari lebih lanjut tentang simetri.
a. Simetri Lipat
Simetri lipat disebut juga simetri garis, simetri sumbu, simetri cermin, atau simetri balik.
Suatu bangun dikatakan mempunyai simetri lipat, jika bangun itu dilipat akan simetris. Simetris artinya kedua belah bagiannya sama atau setangkup. Suatu bangun dikatakan simetris, jika seluruh bangun itu seimbang pada bagian-bagiannya. Sumbu simetri suatu bangun dapat ditentukan dengan cara melipat bangun itu pada bagian tertentu. Periksa ketiga bangun di atas. Jiplak dan gunting lebih dahulu, kemudian tentukan lipatannya. Setiap bangun akan simetris dengan bayangannya melalui pencerminan. Perhatikan wajahmu ketika bercermin.
1) Mengenal Simetri Lipat dan Menentukan Sumbu Simetri Bangun-Bangun Datar
Buat guntingan dari kertas bangun-bangun persegi panjang, persegi, segitiga, trapesium, jajargenjang, dan lingkaran. Tentukan sumbu simetri dan banyaknya simetri lipat bangunbangun
tersebut dengan cara melipat Persegi mempunyai 4 simetri lipat
b. Simetri Putar
Suatu bangun datar, jika diputar pada titik pusat yang sama, dapat kembali menempati bingkainya lebih dari satu kali dalam satu putaran penuh, bangun itu dikatakan memiliki simetri putar. Banyaknya simetri putar pada bangun datar tidak sama. Jauhnya putaran suatu bangun ditentukan oleh besar sudut, dengan titik pusat yang sama, dan arah putaran sama dengan arah perputaran jarum jam. Mari kita bersama-sama mempelajari simetri putar beberapa bangun datar dengan seksama.

Read more »

Materi Matematika SD – Bilangan dan Lambang

Materi Matematika SD – Bilangan dan Lambang
Dalam bab ini kita akan mempelajari ;
1. Bilangan dan lambang
2. Bilangan bulat
3. Angka romawi

Bilangan dan Lambang
• Menulis Nama dan Bilangan
Bilangan identik dengan angka, contohnya 580, 680, 780. Lambang identik dengan nama misalnya limaratus delapan puluh, enam ratus delapan puluh, tujuh ratus delapan puluh.
• Menulis Bentuk Panjang suatu Bilangan
Panjang suatu bilangan adalah berapa banyak angka yang terdapat pada suatu bilangan dengan menguraikan angka tersebut.
• Menentukan Nilai Tempat
563783 bisa ditulis dengan 500.000+60.000+3000+700+80+3
500.000 sebagai ratusan ribu.
60.000 sebagai puluhan ribu
3.000 sebagai ribuan
700 sebagai ratusan
80 sebagai puluhan
3 sebagai satuan
Bilangan Bulat
• Bilangan Bulat
Bilangan yang terdiri dari bilangan nol (0), positif (+), dan negatif (-).
Lambang .. Nama Bilangan .. Lawannya.
-1 .. negatif satu .. 1
-2 .. negatif dua .. 2
-3 .. negatif tiga .. 3
• Penjumlahan dan Pengurangan
Catatan = Pengurangan bilangan bulat, sama dengan Penjumlahan dengan lawan Bilangan Pengurangannya.
Contoh: 7 – 5 = 7 + (-5) = 2
Catatan = bila ada bilangan negatif bertemu negatif maka hasilnya positif.
• Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat
Perkalian berlaku sifat komulatif, asosiatif dan distributif.
Catatan = jika tanda sama hasilnya positif, jika tanda beda hasilnya negative
Contoh :15 x 5 = 75
-15 x -5 = 75
15 x (-5) = -75
-15 x 5 = -75
Pembagian juga berlaku sifat yang sama dengan perkalian yaitu jika tanda (+) dengan (+) hasil (+), jika tanda (+) dengan (-) hasil (-).
Contoh :
75 : 15 = 5
-75 : 15 = -5
• Bilangan Bilangan Bulat Campuran
Catatan jika terdapat Penjumlahan dan Pengurangan, atau Perkalian dan Pembagian, kerjakan dari sebelah kiri dulu.
Contoh 5 + 10 – 1 = (15 – 1 ) = 14
5 x 2 : 5 = 10 : 5 = 2jika ada kasus Penjumlahan, Perkalian, Pengurangan , Pembagian maka kerjakan operasi Perkalian dan Pembagian dahulu kecuali ada tanda kurung, kerjakan yang ada tanda kurung dulu.
Contohnya 5 + 6 x 10 = 6×10 + 5 = 65
(5 + 6)x 10 = 11 x 10 = 110
Angka Romawi
Lambang Lambang
Desimal Romawi Desimal Romawi
1 I 30 XXX
2 II 40 XL
3 III 50 L
4 IV 90 XC
5 V 100 C
6 VI 400 CD
7 VII 500 D
8 VIII 900 CM
9 IX 1000 M
10 X
11 XI
12 XII
13 XIII
14 XIV
15 XV
16 XVI
17 XVII
18 XVIII
19 XIX
20 XX

Read more »

MENGENAL SUDUT

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering mendengar kata
sudut. Dalam sepakbola kita mengenal tendangan sudut. Contoh
lain, kamu mungkin pernah mendengar kata sudut pandang atau
sudut kota. Sebenarnya apa itu sudut? Apa pula hubungannya
dengan pelajaran matematika?
Sudut adalah bangun yang dibentuk sepasang garis yang salah
satu ujungnya bersatu atau bertemu.
Titik pertemuan ini, dinamakan titik sudut.
Jenis Sudut
Mari, kita perhatikan besar sudut-sudut berikut ini!
(I) (II) (III)
Besar sudut pada ketiga gambar di atas berbeda-beda. Ada yang
menyiku, yaitu sudut yang besarnya 90o (gambar II). Ada yang
besar sudutnya kurang dari 90o (gambar I). Ada pula yang sudutnya
lebih besar dari 90o (gambar III). Besar sudut yang berbeda
tersebut menghasilkan jenis sudut yang berbeda, yaitu:
(1) Sudut lancip, yaitu sudut yang besarnya kurang dari 90o.
(2) Sudut siku-siku, yaitu sudut yang besarnya 90o.
(3) Sudut tumpul, yaitu sudut yang besarnya lebih dari 90o.

Read more »

Mengalikan Bilangan Menggunakan Rabdologia (Napier’s Bone)

John Napier adalah seorang matematikawan, fisikawan, ahli astronomi dan astrologi asal Skotlandia. Peninggalannya yang terkenal dalam bidang matematika diantaranya adalah Napier’s bones yang dikenal juga dengan nama rabdology atau rabdologia.
Rabdologia berasal dari bahasa yunani r(h)abdos artinya batang dan kata logia artinya belajar. Rabdologia adalah alat hitung semacam abakus yang digunakan untuk melakukan hitungan perkalian dan pembagian dengan menggunakan konsep dasar menjumlahkan untuk perkalian dan pengurangan untuk pembagian.
Napier’s bones terdiri dari sebuah papan dengan pinggiran dan satu set batang dengan tulisan angka-angka di dalamnya. Papan dan batang biasanya dibuat dari bahan kayu, metal atau kardus tebal.



Satu set Napier’s bones (Rabdologia) dan contoh daftar perkalian 7.
Walaupun demikian, tanpa menggunakan rabdologia semacam itu kita tetap bisa menggunkan konsep hitungan Napier’s bones untuk melakukan hitungan perkalian atau pembagian.
Berikut ini adalah contoh menghitung perkalian dengan memanfaatkan konsep hitungan pada rabdologia.
Contoh:
15 x 13 = ?
Untuk menyelesaikan perkalian dua digit, terlebih dahulu gambarlah empat buah kotak untuk mewakili digit-digit yang dikalikan itu sebagai berikut:
Langkah 1
Gambarkan empat buah kotak dengan masing-masing kotak dibagi dua menjadi dua bagian dengan sebuah garis diagonal.
Karena kita akan mengalikan 15 dengan 13, maka angka 1 dan 5 (untuk 15) ditulis di bagian atas kotak, dan angka 1 dan 3 (untuk 13) ditulis di samping kotak.


Langkah 2
Kalikan masing-masing digit angka itu, dan tulis hasilnya di dalam kotak yang sesuai. Perhatikan cara meletakkan hasil kali angka-angka itu. Satu kotak dibagi dua bagian dengan sebuah garis diagonal, bagian atas diagonal diisi dengan digit puluhan, dan bagian bawah diagonal diisi dengan digit satuan. Jadi, jika hasil kalinya berupa angka satu digit maka ditulis 0 di bagian atas diagonal, dan satu digit (satuan) itu disimpan di bagian bawah diagonal.
1 x 1 = 1 (ditulis 01 dalam kotak baris 1, kolom 1)
5 x 1 = 5 (ditulis 05 dalam kotak baris 1, kolom 2)
1 x 3 = 3 (ditulis 03 dalam kotak baris 2, kolom 1)
5 x 3 = 15 (ditulis 15 dalam kotak baris 2, kolom 2)



Langkah 3
Setelah semua kotak terisi penuh, saatnya menjumlahkan masing-masing angka itu sesuai posisi garis diagonalnya. Kita akan menjumlahkan mulai dari pojok bawah sebelah kanan.
5 (untuk digit satuan)
3 + 1 + 5 = 9 (untuk digit puluhan)
0 + 1 + 0 = 1 (untuk digit ratusan)


Hasil perkalian itu ditulis di bagian bawah dan samping kiri kotak. Berturut-turut, dari pojok bawah kanan ke arah kiri adalah digit satuan dan digit puluhan, dan di samping kiri bawah adalah digit ratusan. Tidak ada digit ribuan  Tidak ada digit ribuan, karena angka di pojok kiri atasnya 0.
Jadi, hasil dari 15 x 13 = 195.


Bagaimana, mudah bukan? Teknik ini juga bisa digunakan untuk mencari hasil perkalian dua buah bilangan besar.
Sekarang cobalah cari hasil kali dari 25 dengan 42 dengan menggunakan rabdologia seperti di atas. Selamat mencoba!

Read more »

LOGIKA MATEMATIKA SMU

Logika didefinisikan sebagai ilmu untuk berfikir dan menalar dengan benar (sehingga didapatkan kesimpulan yang absah). Manusia mampu mengembangkan pengetahuan karena mempunyai bahasa dan kemampuan menalar. Untuk dapat menarik konklusi yang tepat, diperlukan kemampuan menalar. Kemampuan menalar adalah kemampuan untuk menarik konklusi yang tepat dari bukti-bukti yang ada, dan menurut aturan-aturan tertentu.
Pentingnya Belajar Logika

Belajar logika (logika simbolik) dapat meningkatkan kemampuan menalar kita, karena dengan belajar logika :
1. Kita mengenali dan menggunakan bentuk-bentuk umum tertentu dari cara penarikan konklusi yang absah, dan menghindari kesalahan-kesalahan yang bisa dijumpai.
2. Kita dapat memperpanjang rangkaian penalaran itu untuk menyelesaikan problem-problem yang lebih kompleks.
________________________________________


I. PERNYATAAN

Sebelum membahas tentang pernyataan, akan kita bahas terlebih dahulu apa yang disebut kalimat . Kalimat adalah kumpulan kata yang disusun menurut aturan tata bahasa. Kata adalah rangkaian huruf yang mengandung arti. Kalimat berarti rangkaian kata yang disusun menurut aturan tata bahasa dan mengandung arti. Dalam logika matematika hanya dibicarakan kalimat-kalimat berarti yang menerangkan (kalimat deklaratif/indicative sentences).
Contoh :
• 4 kurang dari 5
• Indonesia terdiri atas 33 propinsi
• 2 adalah bilangan prima yang genap
• 3 adalah bilangan genap
Definisi : Suatu pernyataan (statement) adalah suatu kalimat deklaratif yang bernilai benar saja, atau salah saja, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Benar atau salahnya sebuah pernyataan disebut nilai kebenaran pernyataan itu. Contoh : Kalimat 1, 2, 3, dan 4
Bukan pernyataan (bukan kalimat deklaratif) contohnya : Kalimat 5, 6, 7, dan 8. Sedang kalimat tak berarti contohnya : Batu makan rumput

Kalimat Terbuka
Definisi : Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengandung variabel, dan jika variabel tersebut diganti konstanta dari semesta yang sesuai maka kalimat itu akan menjadi kalimat yang bernilai benar saja atau
bernilai salah saja (pernyataan).

KATA HUBUNG KALIMAT
Pernyataan majemuk terdiri dari satu atau lebih pernyataan sederhana yang dihubungkan dengan kata hubung kalimat (connective) tertentu. Dalam bahasa Indonesia kita sering menggunakan kata-kata “tidak”, “dan”, “atau”, “jika. . . maka. . .”, “jika dan hanya jika”.

1. Negasi (Ingkaran, atau Penyangkalan)
Perhatikan pernyataan : “Sekarang hari hujan” bagaimana ingkaran pernyataan itu ? Anda dapat dengan mudah menjawab : "Sekarang hari tidak hujan”. Jika pernyataan semula bernilai benar maka ingkaran pernyataan itu bernilai salah
Contoh :
Jika p : Jakarta ibu kota RI (B)
maka ~ p : Tidak benar bahwa Jakarta ibu kota RI (S)
atau ~ p : Jakarta bukan ibu kota RI (S)


2. Konjungsi (dan)
Perhatikan kalimat : “Aku suka sayur dan buah”, maka kalimat itu berarti : 1. “Aku suka sayur” dan 2. “Aku suka buah”. Jika pernyataan semula bernilai benar maka sub pernyataan 1. atau 2. benar. Jika sub pernyataan 1 atau 2 salah maka pernyataan semula bernilai salah, demikian pula jika kedua sub pernyataan itu salah.
Contoh :
Jika r : Ima anak pandai, dan
s : Ima anak cekatan.
maka r ∧ s : Ima anak pandai dan cekatan
Pernyataan r ∧ s bernilai benar jika Ima benar-benar anak pandai dan benar-benar anak cekatan.


3. Disjungsi (atau)
Sekarang perhatikan pernyataan : “Tobing seorang mahasiswa yang cemerlang atau seorang atlit berbakat”.
Disjungsi inklusif dari dua pernyataan p dan q ditulis p ∨ q, dan disjungsi eksklusif dari dua pernyataan p dan q ditulis p ∨ q, dan dibaca : p atau q. pernyataan p ∨ q juga disebut sebagai pernyataan disjungtif.
Contoh :
1. Jika p : Aku tinggal di Indonesia
q : Aku belajar Bahasa Inggris sejak SMP
maka p ∨ q : Aku tinggal di Indonesia atau belajar Bahasa Inggris sejak SMP
Pernyataan p ∨ q bernilai benar jika Aku benar-benar tinggal di Indonesia atau benar-benar belajar Bahasa Inggris sejak SMP.

4. Implikasi
Dalam implikasi p ⇒ q, p disebut hipotesa (anteseden) dan q disebut konklusi (konsekuen).
Bila kita menganggap pernyataan q sebagai suatu peristiwa, maka kita melihat bahwa “Jika p maka q” dapat diartikan sebagai “Bilamana p terjadi maka q juga terjadi” atau dapat juga, diartikan sebagai “Tidak mungkin peristiwa p terjadi, tetapi peristiwa q tidak terjadi”.
Contoh:
1. jika p : burung mempunyai sayap (B), dan
q : 2 + 3 = 5 (B)
maka p ⇒ q : jika burung mempunyai sayap maka 2 + 3 = 5 (B)
2. jika r : x bilangan cacah (B), dan
s : x bilangan bulat positif (S)
maka p ⇒ q : jika x bilangan cacah maka x bilangan bulat positif (S).

5. Bikondisional (Biimplikasi Atau Pernyataan Bersyarat Ganda)
Perhatikan kalimat: ”Jika segi tiga ABC sama kaki maka kedua sudut alasnya sama besar”. Jelas implikasi ini bernilai benar. Kemudian perhatikan: “Jika kedua sudut alas segi tiga ABC sama besar maka segi tiga itu sama kaki”. Jelas bahwa implikasi ini juga bernilai benar. Sehingga segi tiga ABC sama kaki merupakan syarat perlu dan cukup bagi kedua alasnya sama besar, juga kedua sudut alas sama besar merupakan syarat perlu dan cukup untuk segi tiga ABC sama kaki. Sehingga dapat dikatakan “Segi tiga ABC sama kaki merupakan syarat perlu dan cukup untuk kedua sudut alasnya sama besar”.
Contoh:
1. Jika p : 2 bilangan genap (B)
q : 3 bilangan ganjil (B)
maka p ⇔ q : 2 bilangan genap jhj 3 bilangan ganjil (B


BAB IV TAUTOLOGI, EKIVALEN DAN KONTRADIKSI
1. Tautologi
Perhatikan bahwa beberapa pernyataan selalu bernilai benar. Contoh pernyataan: “Junus masih bujang atau Junus bukan bujang” akan selalu bernilai benar tidak bergantung pada apakah junus benar-benar masih bujang atau bukan bujang.
Jika p : junus masih bujang, dan ~p : junus bukan bujang, maka pernyataan diatas berbentuk p ∨ ~p. (coba periksa nilai kebenarannya dengan menggunakan tabel kebenaran). Setiap pernyataan yang bernilai benar, untuk setiap nilai kebenaran komponen-komponennya, disebut tautologi.
2. Ekivalen
Perhatikan kalimat: “Guru pahlawan bangsa” dan “tidak benar bahwa guru bukan pahlawan bangsa”. Kedua kalimat ini akan mempunyai nilai kebenaran yang sama, tidak perduli bagaimana nilai kebenaran dari pernyataan semula. (Coba periksa dengan menggunakan tabel kebenaran).
Definisi : Dua buah pernyataan dikatakan ekivalen (berekivalensi logis) jika kedua pernyataan itu mempunyai
nilai kebenaran yang sama.
q.Pernyataan p ekivalen dengan pernyataan q dapat ditulis sebagai p
Berdasarkan definisi diatas, sifat-sifat pernyataan-pernyataan yang ekivalen (berekivalensi logis) adalah:
p1. p
p q maka q 2. jika p
r r maka p  q dan q 3. jika p
Sifat pertama berarti bahwa setiap pernyataan selalu mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan dirinya sendiri. Sifat kedua berarti bahwa jika suatu pernyataan mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan suatu pernyataan yang lain, maka tentu berlaku sebaliknya. Sedangkan sifat ketiga berarti bahwa jika pernyataan pertama mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan pernyataan kedua dan pernyataan kedua mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan pernyataan ketiga maka nilai kebenaran pernyataan pertama adalah sama dengan nilai kebenaran pernyataan ketiga.
23
Jika pernyataan tertentu p ekivalen dengan pernyataan q, maka pernyataan p dan q dapat saling ditukar dalam pembuktian. Ingat pada pernyataan “segi tiga sama sisi” yang ekivalen dengan “segi tiga yang sudutnya sama besar”. Dalam pembuktian pada geometri sering kali kita menggunakan kedua pernyataan itu dengan maksud yang sama.
3. Kontradiksi
Sekarang perhatikan kalimat : “Pratiwi seorang mahasiswa dan bukan mahasiswa”. Pernyataan ini selalu bernilai salah, tidak tergantung pada nilai kebenaran dari “Pratiwi seorang mahasiswa” maupun “Pratiwi bukan mahasiswa”.
Jika r : Pratiwi mahasiswa maka ~ r : Pratiwi bukan mahasiswa maka pernyataan di atas berbentuk r ∧ ~ r (Coba periksa nilai kebenarannya dengan menggunakan tabel kebenaran).
Setiap pernyataan yang selalu bernilai salah, untuk setiap nilai kebenaran dari komponen-komponen disebut kontradiksi. Karena kontradiksi selalu bernilai salah, maka kontradiksi merupakan ingkaran dari tautologi dan sebaliknya.


BAB V KUANTOR
1. Fungsi Pernyataan
Definisi : Suatu fungsi pernyataan adalah suatu kalimat terbuka di dalam semesta pembicaraan (semesta
pembicaraan diberikan secara eksplisit atau implisit).
Fungsi pernyataan merupakan suatu kalimat terbuka yang ditulis sebagai p(x) yang bersifat bahwa p(a) bernilai benar atau salah (tidak keduanya) untuk setiap a (a adalah anggota dari semesta pembicaraan). Ingat bahwa p(a) suatu pernyataan.
Contoh :
1. p(x) = 1 + x > 5
p(x) akan merupakan fungsi pernyataan pada A = himpunan bilangan asli. Tetapi p(x) bukan merupakan fungsi
pernyataan pada K = himpunan bilangan kompleks.
2. a. Jika p(x) = 1 + x > 5 didefinisikan pada A = himpunan bilangan asli, maka p(x) bernilai benar untuk x = 5, 6, 7, . . .
b. Jika q(x) = x + 3 < 1 didefinisikan pada A = himpunan bilangan asli, tidak ada x yang menyebabkan p(x) bernilai benar. c. Jika r(x) = x + 3 > 1 didefinisikan pada A = himpunan bilangan asli, maka r(x) bernilai benar untuk x = 1, 2, 3, .
Dari contoh di atas terlihat bahwa fungsi pernyataan p(x) yang didefinisikan pada suatu himpunan tertentu akan bernilai benar untuk semua anggota semesta pembicaraan, beberapa anggota semesta pembicaraan, atau tidak ada anggota semesta pembicaraan yang memenuhi.
2. Kuantor Umum (Kuantor Universal)
x p(x) adalah suatu pernyataan yang dapat dibaca sebagai “Untuk setiap x elemen A, p(x) merupakan pernyataan “Untuk semua x, berlaku p(x)”. x, p(x) atau  A) p(x) atau  x  yang dibaca “untuk semua” atau “untuk setiap” disebut kuantor umum. Jika p(x) adalah fungsi proposi si pada suatu himpunan A (himpunan A adalah semesta pembicaraannya) maka ( Simbol
25
Contoh :
1. p(x) = x tidak kekal
p(manusia) = Manusia tidak kekal
{manusia}, p(x) = semua manusia tidak kekal (Benar) x  x, p(x) = maka
x p(x) merupakanPerhatikan bahwa p(x) merupakan kalimat terbuka (tidak mempunyai nilai kebenaran). Tetapi
pernyataan (mempunyai nilai benar atau salah tetapi tidak kedua-duanya).
x (x + 3 x r(x) = 2. > 1) pada A = {bilangan asli} bernilai benar.
x (x + 3 x q(x) = 3. < 1) pada A = {bilangan asli} bernilai salah. 3. Kuantor Khusus (Kuantor Eksistensial) ! Untuk menyatakan “Ada hanya satu”. x p(x) adalah suatu pernyataan yang dibaca “Ada x elemen A, sedemikian hingga p(x) merupakan pernyataan” atau “Untuk beberapa x, p(x)”. ada yang menggunakan simbol  x! p(x) atau  A) p(x) atau  x  dibaca “ada” atau “untuk beberapa” atau “untuk paling sedikit satu” disebut kuantor khusus. Jika p(x) adalah fungsi pernyataan pada himpunana tertentu A (himpunana A adalah semesta pembicaraan) maka ( Simbol Contoh : 1. p(x) = x adalah wanita p(perwira ABRI) = Perwira ABRI adalah wanita {perwira ABRI}, p(x) = ada perwira ABRI adalah wanita (Benar) x  x! p(x) =  x p(x) =  x (x + 1 x p(x) = 2. < 5) pada A = {bilangan asli} maka pernyataan itu bernilai salah. x (3 + x x r(x) = 3. > 1) pada A = {bilangan asli} maka pernyataan itu bernilai salah.
4. Negasi Suatu Pernyatan yang Mengandung Kuantor
Negasi dari “Semua manusia tidak kekal” adalah “Tidak benar bahwa semua manusia tidak kekal” atau “Beberapa manusia kekal”.
x ~ p(x) bernilai salah. Pernyataan di atas dapat dituliskan dengan simbol : x p(x) bernilai benar, dan “Beberapa manusia kekal” atau Jika p(x) adalah manusia tidak kekal atau x tidak kekal, maka “Semua manusia adalah tidak kekal” atau
x ~ p(x)  x p(x)] ~ [
Jadi negasi dari suatu pernyataan yang mengandung kuantor universal adalah ekivalen dengan pernyataan yang mengandung kuantor eksistensial (fungsi pernyataan yang dinegasikan) dan sebalinya :
x ~ p(x)  x p(x) ~ [
26
5. Fungsi Pernyataan yang Mengandung Lebih dari Satu Variabel
Didefinisikan himpunan A1, A2, A3, . . ., An, suatu fungsi pernyataan yang mengandung variabel pada himpunan A1 x A2 x A3 x . . . x An merupakan kalimat terbuka p(x1, x2, x3, . . ., xn) yang mempunyai sifat p(a1, a2, a3, . . ., an) bernilai benar atau salah (tidak keduanya) untuk (a1, a2, a3, . . ., an) anggota semesta A1 x A2 x A3 x . . . x An.
Contoh :
M(x,y) adalah fungsi pernyataan pada P x W.1. Diketahui P = {pria}, W = {wanita}. “x menikah dengan y”
2. Diketahu A = {bilangan asli}. “2x – y – 5z < K(x,y,z) adalah fungsi pernyataan pada A x A x A.10”
Suatu fungsi pernyataan yang bagian depannya dibubuhi dengan kuantor untuk setiap variabelnya, seperti contoh berikut ini :
z p(x,y,z) y  x  y p(x,y) atau  x 
merupakan suatu pernyataan dan mempunyai nilai kebenaran.
Contoh :
1. P = {Nyoman, Agus, Darman} dan W = {Rita, Farida}, serta p(x,y) = x adalah kakak y.
W, p(x,y) dibaca “Untuk setiap x di P ada y di W sedemikian hingga x adalah kakak y” berarrti y  P,  x Maka
bahwa setiap anggota P adalah kakak dari Rita atau Farida.
P p(x,y) dibaca “Ada y di W untuk setiap x di P sedemikian hingga x x  W  y Jika pernyataan itu ditulis sebagai
adalah kakak y” berarti bahwa ada (paling sedikit satu) wanita di W mempunyai kakak semua anggota P.
Negasi dari pernyataan yang mengandung kuantor dapat ditentukan sebagai contoh berikut ini.
y ~ p(x,y) x   y p(x,y)]  x ~ [   y p(x,y)}]  x { ~ [
Contoh :
P = {Nyoman, Agus, Darman} dan W = {Rita, Farida}, serta p(x,y) = x adalah kakak y.
W, p(x,y) y  P,  x Tuliskan negasi dari pernyataan :
Jawab :
P x   W, p(x,y)  P, ~ [Ey  x   W p(x,y)}]  y  P {  x ~ [ W, ~ p(x,y) y ,
Jika kita baca pernyataan semula adalah “Setiap anggota P adalah kakak dari paling sedikit satu anggota W”
Negasi dari pernyataan itu adalah “Tidak benar bahwa setiap anggota P adalah kakak dari paling sedikit satu anggota W” yang ekivalen dengan “Ada anggota P yang bukan kakak dari semua anggota W”.
Coba bandingkan pernyataan verbal ini dengan bentuk simboliknya!
27
BAB VI VALIDITAS PEMBUKTIAN
1. Premis dan Argumen
Logika berkenaan dengan penalaran yang dinyatakan dengan pernyataan verbal. Suatu diskusi atau pembuktian yang bersifat matematik atau tidak, terdiri atas pernyataan-pernyataan yang saling berelasi. Biasanya kita memulai dengan pernyataan-pernyataan tertentu yang diterima kebenarannya dan kemudian berargumentasi untuk sampai pada konklusi (kesimpulan) yang ingin dibuktikan.
Pernyataan-pernyataan yang digunakan untuk menarik suatu kesimpulan disebut premis, sehingga suatu premis dapat berupa aksioma, hipotesa, definisi atau pernyataan yang sudah dibuktikan sebelumnya.
Sedang yang dimaksud dengan argumen adalah kumpulan kalimat yang terdiri atas satu atau lebih premis yang mengandung bukti-bukti (evidence) dan suatu (satu) konklusi. Konklusi ini selayaknya (supposed to) diturunkan dari premis-premis.
2. Validitas Pembuktian (I)
Konklusi selayaknya diturunkan dari premis-premis atau premis-premis selayaknya mengimplikasikan konklusi, dalam argumentasi yang valid, konklusi akan bernilai benar jika setiap premis yang digunakan di dalam argumen juga bernilai benar. Jadi validitas argumen tergantung pada bentuk argumen itu dan dengan bantuan tabel kebenaran.
Bentuk kebenaran yang digeluti oleh para matematikawan adalah kebenaran relatif. Benar atau salahnya suatu konklusi hanya dalam hubungan dengan sistem aksiomatik tertentu. Konklusi itu benar jika mengikuti hukum-hukum logika yang valid dari aksioma-aksioma sistem itu, dan negasinya adalah salah.
Untuk menentukan validitas suatu argumen dengan selalu mengerjakan tabel kebenarannya tidaklah praktis. Cara yang lebih praktis banyak bertumpu pada tabel kebenaran dasar dan bentuk kondisional. Bentuk argumen yang paling sederhana dan klasik adalah Modus ponens dan Modus tolens.
Modus Ponen
qPremis 1 : p
Premis 2 : p
Konklusi : q
q) q, p  untuk menyatakan konklusi, seperti p Cara membacanya : Apabila diketahui jika p maka q benar, dan p benar, disimpulkan q benar. (Notasi : Ada yang menggunakan tanda
28
Contoh :
1. Premis 1 : Jika saya belajar, maka saya lulus ujian (benar)
Premis 2 : Saya belajar (benar)
Konklusi : Saya lulus ujian (benar)
Baris pertama dari tabel kebenaran kondisional (implikasi) menunjukkan validitas dari bentuk argumen modus ponen.
Modus Tolen :
qPremis 1 : p
Premis 2 : ~ q
Konklusi : ~ p
Contoh :
2. Premis 1 : Jika hari hujan maka saya memakai jas hujan (benar)
Premis 2 : Saya tidak memakai jas hujan (benar)
Konklusi : Hari tidak hujan (benar)
Perhatikan bahwa jika p terjadi maka q terjadi, sehingga jika q tidak terjadi maka p tidak terjadi.
Silogisma :
qPremis 1 : p
rPremis 2 : q
rKonklusi : p
Contoh :
3. Premis 1 : Jika kamu benar, saya bersalah (B)
Premis 2 : Jika saya bersalah, saya minta maaf (B)
Konklusi : Jika kamu benar, saya minta maaf (B)
Silogisma Disjungtif
qPremis 1 : p
Premis 2 : ~ q
Konklusi : p
29
Jika ada kemungkinan bahwa kedua pernyataan p dan q dapat sekaligus bernilai benar, maka argumen di bawah ini tidak valid.
Premis 1 : p ∨ q
Premis 2 : q
Konklusi : ~ p
Tetapi jika ada kemungkinan kedua pernyataan p dan q tidak sekaligus bernilai benar (disjungsi eksklusif), maka sillogisma disjungtif di atas adalah valid.
Contoh :
1. Premis 1 : Pengalaman ini berbahaya atau membosankan (B)
Premis 2 : Pengalaman ini tidak berbahaya (B)
Konklusi : Pengalaman ini membosankan (B)
2. Premis 1 : Air ini panas atau dingin (B)
Premis 2 : Air ini panas (B)
Konklusi : Air ini tidak dingin (B)
3. Premis 1 : Obyeknya berwarna merah atau sepatu
Premis 2 : Obyek ini berwarna merah
Konklusi : Obyeknya bukan sepatu (tidak valid)
Konjungsi
Premis 1 : p
Premis 2 : q
qKonklusi : p
q benar.Artinya : p benar, q benar. Maka p
Tambahan (Addition)
Premis 1 : p
qKonklusi : p
q benar (tidak peduli nilai benar atau nilai salah yang dimiliki q).Artinya : p benar, maka p
30
Dua bentuk argumen valid yang lain adalah Dilema Konstruktif dan Dilema Destruktif.
Dilema Konstruktif
s) (r  q) Premis 1 : (p
rPremis 2 : p
sKonklusi : q
Dilema konstruktif ini merupakan kombinasi dua argumen modus ponen (periksa argumen modus ponen).
Contoh :
Premis 1 : Jika hari hujan, aku akan tinggal di rumah; tetapi jika pacar datang, aku pergi berbelanja.
Premis 2 : Hari ini hujan atau pacar datang.
Konklusi : Aku akan tinggal di rumah atau pergi berbelanja.
Dilema Konstruktif :
s) (r  q) Premis 1 : (p
~ sPremis 2 : ~ q
~ rKonklusi : ~ p
Dilema destruktif ini merupakan kombinasi dari dua argumen modus tolens (perhatikan argumen modus tolen).
Contoh :
Premis 1 : Jika aku memberikan pengakuan, aku akan digantung; dan jika aku tutup mulut, aku akan ditembak
mati.
Premis 2 : Aku tidak akan ditembak mati atau digantung.
Konklusi : Aku tidak akan memberikan pengakuan, atau tidak akan tutup mulut.
2. Validitas Pembuktian (II)(Hanya untuk pengayaan)
Sekarang kita akan membicarakan pembuktian argumen yang lebih kompleks dengan menggunakan bentuk-bentuk argumen valid di atas.
Contoh :
t)] (s  [p  q) Diberikan argumen : (p
r q) (p
ts
Apakah argumen di atas valid ?
31
Jawab :
Berikut ini adalah langkah-langkah pembuktian yang dilakukan :
t) Premis (s  [p  q) (p
r Premis q) (p
q 2, Penyederhanaanp
t) 1, 3, Modus Ponen (s p
p 3, Penyederhanaan
t 4, 5, Modus Ponens
s 6, Penyederhanaan
t 7, Tambahan s 
Jadi argumen tersebut di atas adalah absah (valid).
Jika pengetahuan logika diperlukan atau pengetahuan aljabar diperlukan, maka semua orang akan belajar matematika. Pengetahuan logika diperlukan dan pengetahuan geometri diperlukan. Karena itu semua mahasiswa akan belajar matematika. Validkah argumentasi di atas ?
Jawab :
Kita akan menerjemahka argumen- argumen di atas ke bentuk simbol-simbol.
Misal : l = pengetahuan logika diperlukan,
a = pengetahuan aljabar diperlukan,
m = Semua orang akan belajar matematika,
g = pengetahuan geometri diperlukan.
Maka :
m Premis a) (l
g Premisl
l 2, Penyederhanaan
a 3, Tambahanl
m 1, 4, Modus Ponen
Jadi argumen di atas adalah valid.
Demikianlah, kita dapat membuktikan argumen - argumen yang tampaknya berbelit-belit dengan menggunakan argumentasi valid yang telah kita miliki. Perhatikan baik-baik cara menerjemahkan argumentasi itu menjadi simbol-simbol.
32
Pembuktian Tidak Langsung
Pembuktian-pembuktian yang telah kita bicarakan di atas, merupakan pembuktian yang langsung. Suatu argumen adalah valid secara logis jika premis-premisnya bernilai benar dan konklusinya juga bernilai benar.
Berdasarkan pemikiran ini, jika premis-premis dalam suatu argumen yang valid membawa ke konklusi yang bernilai salah, maka paling sedikit ada satu premis yang bernilai salah.
Cara pembuktian ini disebut pembuktian tidak langsung atau pembuktian dengan kontradiksi atau reductio ad absurdum.
Contoh :
Premis 1 : Semua manusia tidak hidup kekal (Benar)
Premis 2 : Chairil Anwar adalah manusia (Benar)
Buktikan bahwa “Chairil Anwar tidak hidup kekal” (premis 3) dengan melakukan pembuktian tidak langsung.
Bukti :
Kita misalkan bahwa : Chairil Anwar hidup kekal (premis 4) (dan kita anggap bernilai benar).
Maka berarti : Ada manusia hidup kekal (premis 5).
Tetapi premis 5 ini merupakan negasi dari premis 1. Yang sudah kita terima kebenarannya.
Oleh karena itu premis 5 ini pasti bernilai salah.
Karena premis 5 bernilai salah maka premis 4 juga bernilai salah. Sebab itu premis 3 bernilai benar.
Jadi terbukti bahwa “Chairil Anwar tidak hidup kekal”.
Ringkasannya, kita dapat membuktikan bahwa suatu pernyataan bernilai benar, dengan menunjukkan bahwa negasi dari pernyataan itu salah. Ini dilakukan dengan menurunkan konklusi yang salah dari argumen yang terdiri dari negasi pernyataan itu dan pernyataan atau pernyataan-pernyataan lain yang telah diterima kebenarannya.

Read more »

PELUANG MATEMATIKA SMA

A. Kaidah Pencacahan, Permutasi dan Kombinasi

• Kaidah Pencacahan
  Apabila peristiwa pertama dapat terjadi dalam p cara berbeda, peristiwa kedua q cara berbeda, peristiwa ketiga r cara berbeda, dan seterusnya, maka banyaknya cara yang berbeda terhadap rangkaian berurutan seperti itu adalah = p x q r x ..
   
• Faktorial
  Perkalian n bilangan asli pertama disebut n faktorial, dinotasikan dengan n!
  n! = 1 x 2 x 3 x 4 x …. x (n – 1) x n
  atau n! = n x (n – 1) x (n – 2) x ….. x 4 x 3 x 2 x 1
   

• Permutasi , Cara menempatkan n buah unsur ke dalam r tempat yang tersedia dengan urutan diperhatikan disebut permutasi r unsur dari n unsur(r &#8804 n) yang dinotasikan dengan nPr atau P(n,r) atau atau Pn,r

1. Banyaknya permutasi n unsur berbeda disusun n unsur(seluruhnya) adalah : P = n!
2. Banyaknya Permutasi yang dapat disusun dari n anggota suatu himpunan diambil r unsur anggota pada satu saat adalah : 
   
3. Banyaknya permutasi jika ada beberapa elemen/unsur yang sama adalah :
   
   
    
4. Banyaknya permutasi siklis adalah permutasi yang disusun secara melingkar dengan memperhatikan urutannya(arah putarannya) adalah :
   P = (n – 1)!
    

• Kombinasi
  Cara menempatkan n buah unsur ke dalam r tempat yang tersedia dengan urutan tidak diperhatikan
  disebut Kombinasi r unsur dari n unsur(r ≤ n) yang dinotasikan dengan nCr atau C(n,r) atau atau Cn,r
  Kombinasi n unsur berbeda disusun r unsur dirumuskan :
  
  

• Binomial Newton
  
  
  
  

B. Peluang Suatu Kejadian

•  Dalam suatu percobaan : 

1. Semua hasil yang mungkin disebut ruang sampel
2. Setiap anggota dalam ruang sampel disebut titik sampel
3. Hasil yang diharapkan disebut kejadian

• Definisi Peluang
  Peluang kejadian A dinotasikan dengan P(A) adalah perbandingan banyaknya hasil kejadian A dinotasikan n(A)
  terhadap banyaknya semua hasil yang mungkin dinotasikan dengan n(S) dalam suatu percobaan.
  Kisaran nilai peluang suatu kejadian A adalah 0 ≤ P(A) ≤ 1.
  Jika P(A) = 0 disebut kemustahilan dan P(A) = 1 disebut kepastian
   
• Frekuensi Harapan
  Frekuensi Harapan kejadian A adalah banyaknya kejadian A yang diharapkan dalam beberapa kali percobaan
   Jika percobaan dilakukan sebanyak n kali maka frekuensi harapan kejadian A dirumuskan : Fh(A) = n x P(A)

• Peluang Komplemen Suatu Kejadian
   Jika A' kejadian selain A, maka P(A)' = 1 – P(A) atau
   P(A)' + P(A) = 1
   P(A)' = peluang komplemen kejadian A atau peluang kejadian selain kejadian A

 C. Kejadian Majemuk

•  Untuk sembarang kejadian A atau B berlaku :
  
  
  
  
   
• Peluang dua Kejadian saling lepas(asing)
  Jika maka dua kejadian tersebut merupakan dua kejadian saling lepas artinya bila terjadi A tidak mungkin terjadi B.
  Besarnya peluang dua kejadian saling lepas(asing) adalah :
  
  
  
  
   

• Peluang dua kejadian saling bebas
  Bila kejadian A tidak mempengaruhi terjadinya B dan sebaliknya, maka kejadian semacam ini disebut dua kejadian saling bebas
  Peluang dua kejadian saling bebas dirumuskan :
  
  
  
  
   
• Peluang dua kejadian tak bebas(bersyarat/bergantungan)
  Apabila kejadian kedua(B) adalah kejadian setelah terjadinya kejadian pertama A, dinotasikan (B/A),
  maka dua kejadian tersebut merupakan dua kejadian tak bebas(bersyarat)
  Peluang dua kejadian tak bebas dirumuskan :
  
  

Read more »

BILANGAN REAL

Berbagai Sistem Bilangan
Sistem matematika adalah himpunan unsur-unsur dengan operasi yang didefinisikan. Operasi-operasi yang telah kita kenal antara lain: ,  dan logaritma. Sedangkan sebagian himpunan dalam aljabar adalah himpunan-himpunan bilangan.

Himpunan-himpunan bilangan secara skematis terlihat seperti pada bagan berikut:

Gambar 1

Pengertian Bilangan Real ()
Apakah bilangan real itu dan apa sifat-sifatnya? Untuk menjawabnya, kita mulai dengan beberapa sistem bilangan yang sederhana berikut ini.

Bilangan-bilangan bulat dan rasional
Diantara sistem bilangan yang paling sederhana adalah bilangan-bilangan asli (= Natural),
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …
Dengan bilangan ini kita dapat menghitung: buku-buku kita, teman-teman kita, uang kita, dan lain sebagainya. Jika kita gandengkan negatifnya dan nol, kita akan peroleh bilangan-bilangan bulat (= dari bahasa Jerman, Zahlen):
…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
Bila kita mencoba mengukur panjang, berat benda, atau tegangan listrik, bilangan-bilangan bulat tidak akan memadai. Bilangan ini terlalu kurang untuk memeberikan ketelitian yang cukup dalam sebuah pengukuran. Kita dituntut untuk juga mempertimbangkan hasil bagi (rasio) dari bilangan-bilangan bulat, yaitu bilangan-bilangan seperti:

Bilangan-bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk , dimana m dan n adalah bilangan bulat dan , disebut bilangan-bilangan rasional (= Quotient ).
Apakah bilangan rasional berfungsi mengukur semua panjang? Fakta yang mengejutkan ini ditemukan pertama kali oleh orang Yunani kuno beberapa abad sebelum masehi. Mereka memperlihatkan bahwa meskipun merupakan panjang sisi miring sebuah segi tiga siku-siku dengan sisi 1 , bilangan ini tidak dapat dituliskan sebagai suatu hasil bagi dua bilangan bulat. Jadi adalah suatu bilangan tak rasional (irasional). Demikian juga .
Jika kita belum terbiasa untuk bisa membedakan bilangan rasional dan bilangan irasional secara langsung, maka ada satu ciri khusus yang yang bisa kita jadikan pedoman untuk membedakan keduanya.
Sekarang, coba periksa dengan menggunakan kalkulator nilai dari .
Akan lebih bagus jika kalkulator yang digunakan memiliki digit lebih banyak dibanding kalkulator biasa, atau Anda bisa menggunakan kalkulator yang tersedia di dalam setiap program windows di komputer Anda, yang ketelitiannya bisa mencapai 34 digit.
Setelah diperiksa, diperoleh sebagai berikut:




Apabila kita perhatikan, dua bilangan yang pertama yaitu dan memiliki bentuk desimal yang bilangan-bilangannya berulang dengan urutan tertentu. Sedangkan dua bilangan terakhir yaitu dan (pi) bentuk bilangan desimalnya tidak berulang (sembarang).
Coba periksa juga bilangan-bilangan lainnya, apakah termasuk bilangan rasional ataukah irasional!

Bilangan-bilangan real
Sekumpulan bilangan (rasional dan irasional) yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol kita namakan bilangan-bilangan real. Atau dengan kata lain, bilangan real adalah bilangan yang dapat berkoresponden satu-satu dengan sebuah titik pada garis bilangan. Pada garis bilangan tersebut terdapat titik asal yang diberi lambang 0 (nol) sebagai titik awal untuk mengukur jarak ke arah kanan atau kiri. Setiap titik pada garis bilangan mempunyai lambang yang tunggal, disebut koordinat titik, dan garis bilangan yang dihasilkan diacu sebagai garis real. Perhatikan gambar!

Kedudukan bilangan real dalam sistem bilangan dapat kita lihat dalam diagram Gambar 1.
Pertanyaan
Dengan mengetahui anggota dari masing-masing himpunan bilangan yang termasuk kelompok bilangan real, bagaimanakah hubungan masing-masing himpunan bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan real, dan bilangan kompleks jika kita gambarkan dalam diagram venn?
Operasi pada Bilangan Real
Operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian
a) Operasi penjumlahan

Contoh:
1.
2.
3.
4.
b) Operasi pengurangan

Contoh:
1.
2.
3. -6 – 4 = -6 + (-4) = -10 $
c) Operasi perkalian

Contoh:
1.
2.
3.
d) Operasi pembagian

Contoh:





Pengubahan pecahan ke desimal, desimal ke persen, dan sebaliknya
a) Mengubah Pecahan Biasa ke Desimal
Contoh:



b) Mengubah Pecahan Desimal ke Persen
Contoh:


c) Mengubah persen ke pecahan dan sebaliknya
Contoh:
Nyatakan ke dalam pecahan atau ke dalam persen!





Menghitung persentase
a) Komisi
Komisi adalah pendapatan yang besarnya tergantung pada tingkat penjualan yang dilakukan
Contoh:
Seorang salesman akan mendapatkan komisi sebesar 15 % jika ia mampu menjual barang senilai Rp. 2.000.000,00. tentukan besarnya komisi yang diterima?
Jawab:
Komisi = 15 % x Rp. 2.000.000


Jadi besarnya komisi yang diterima oleh salesman itu sebesar. Rp. 300.000,00
b) Diskon
Diskon adalah potongan harga yang diberikan
Contoh:
Menjelang miladnya, sebuah toko serba ada memberikan diskon sebesar 25% untuk semua produk. Jika kita berbelanja senilai Rp. 800.000,00, berapa kita harus membayar?
Jawab:
Diskon = 25 % x Rp. 800.000,00


Jadi, kita harus membayar sebesar:
Rp. 800.000,00 – Rp. 200.000,00 = Rp. 600.000,00
c) Laba dan rugi
Laba diperoleh jika harga penjualan lebih dari harga atau biaya pembelian. Dirumuskan sebagai berikut:

Rugi diderita jika harga penjualan kurang dari harga atau biaya pembelian. Rumusannya sebagai berikut:

Contoh:
Sebuah barang dibeli dengan harga Rp. 2.000.000,00, dan di jual dengan harga Rp. 2.400.000,00. Hitunglah persentase keuntungan dari harga pembelian dan dari harga penjualan!
Jawab:
Laba = Rp. 2.400.000,00 – Rp. 2.000.000,00 = Rp. 400.000,00
Persentase keuntungan (laba) dari harga beli:

Persentase keuntungan (laba) dari harga penjualan:

Sifat-sifat Operasi Bilangan Real
Waktu SMP kita sudah mengenal operasi-operasi yang berlaku pada bilangan real berikut sifat-sifatnya, dan sekarang kita tengok kembali sifat-sifat yang berlaku pada bilangan real dengan operasi “penjumlahan” dan “perkalian”.
Untuk setiap , beralaku sifat-sifat berikut;
Penjumlahan:
1. Sifat tertutup pada penjumlahan;
2. Sifat komutatif pada penjumlahan
3. Sifat asosiatif pada penjumlahan
4. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

5. Sifat identitas pada penjumlahan (0 adalah elemen identitas atau elemen netral)
6. Sifat invers pada penjumlahan
Perkalian:
1. Sifat tertutup pada perkalian
2. Sifat komutatif pada perkalian
3. Sifat asosiatif pada perkalian
4. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

5. Sifat identitas pada perkalian (1 adalah elemen identitas perkalian)
6. Sifat invers pada perkalian tidak berlaku, sebab 0 tidak mempunyai invers.

(untuk )

(tidak ada/tidak didefinisikan)

Read more »