Logika didefinisikan sebagai ilmu untuk berfikir dan menalar dengan benar (sehingga didapatkan kesimpulan yang absah). Manusia mampu mengembangkan pengetahuan karena mempunyai bahasa dan kemampuan menalar. Untuk dapat menarik konklusi yang tepat, diperlukan kemampuan menalar. Kemampuan menalar adalah kemampuan untuk menarik konklusi yang tepat dari bukti-bukti yang ada, dan menurut aturan-aturan tertentu.
Pentingnya Belajar Logika
Belajar logika (logika simbolik) dapat meningkatkan kemampuan menalar kita, karena dengan belajar logika :
1. Kita mengenali dan menggunakan bentuk-bentuk umum tertentu dari cara penarikan konklusi yang absah, dan menghindari kesalahan-kesalahan yang bisa dijumpai.
2. Kita dapat memperpanjang rangkaian penalaran itu untuk menyelesaikan problem-problem yang lebih kompleks.
________________________________________
I. PERNYATAAN
Sebelum membahas tentang pernyataan, akan kita bahas terlebih dahulu apa yang disebut kalimat . Kalimat adalah kumpulan kata yang disusun menurut aturan tata bahasa. Kata adalah rangkaian huruf yang mengandung arti. Kalimat berarti rangkaian kata yang disusun menurut aturan tata bahasa dan mengandung arti. Dalam logika matematika hanya dibicarakan kalimat-kalimat berarti yang menerangkan (kalimat deklaratif/indicative sentences).
Contoh :
• 4 kurang dari 5
• Indonesia terdiri atas 33 propinsi
• 2 adalah bilangan prima yang genap
• 3 adalah bilangan genap
Definisi : Suatu pernyataan (statement) adalah suatu kalimat deklaratif yang bernilai benar saja, atau salah saja, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Benar atau salahnya sebuah pernyataan disebut nilai kebenaran pernyataan itu. Contoh : Kalimat 1, 2, 3, dan 4
Bukan pernyataan (bukan kalimat deklaratif) contohnya : Kalimat 5, 6, 7, dan 8. Sedang kalimat tak berarti contohnya : Batu makan rumput
Kalimat Terbuka
Definisi : Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengandung variabel, dan jika variabel tersebut diganti konstanta dari semesta yang sesuai maka kalimat itu akan menjadi kalimat yang bernilai benar saja atau
bernilai salah saja (pernyataan).
KATA HUBUNG KALIMAT
Pernyataan majemuk terdiri dari satu atau lebih pernyataan sederhana yang dihubungkan dengan kata hubung kalimat (connective) tertentu. Dalam bahasa Indonesia kita sering menggunakan kata-kata “tidak”, “dan”, “atau”, “jika. . . maka. . .”, “jika dan hanya jika”.
1. Negasi (Ingkaran, atau Penyangkalan)
Perhatikan pernyataan : “Sekarang hari hujan” bagaimana ingkaran pernyataan itu ? Anda dapat dengan mudah menjawab : "Sekarang hari tidak hujan”. Jika pernyataan semula bernilai benar maka ingkaran pernyataan itu bernilai salah
Contoh :
Jika p : Jakarta ibu kota RI (B)
maka ~ p : Tidak benar bahwa Jakarta ibu kota RI (S)
atau ~ p : Jakarta bukan ibu kota RI (S)
2. Konjungsi (dan)
Perhatikan kalimat : “Aku suka sayur dan buah”, maka kalimat itu berarti : 1. “Aku suka sayur” dan 2. “Aku suka buah”. Jika pernyataan semula bernilai benar maka sub pernyataan 1. atau 2. benar. Jika sub pernyataan 1 atau 2 salah maka pernyataan semula bernilai salah, demikian pula jika kedua sub pernyataan itu salah.
Contoh :
Jika r : Ima anak pandai, dan
s : Ima anak cekatan.
maka r ∧ s : Ima anak pandai dan cekatan
Pernyataan r ∧ s bernilai benar jika Ima benar-benar anak pandai dan benar-benar anak cekatan.
3. Disjungsi (atau)
Sekarang perhatikan pernyataan : “Tobing seorang mahasiswa yang cemerlang atau seorang atlit berbakat”.
Disjungsi inklusif dari dua pernyataan p dan q ditulis p ∨ q, dan disjungsi eksklusif dari dua pernyataan p dan q ditulis p ∨ q, dan dibaca : p atau q. pernyataan p ∨ q juga disebut sebagai pernyataan disjungtif.
Contoh :
1. Jika p : Aku tinggal di Indonesia
q : Aku belajar Bahasa Inggris sejak SMP
maka p ∨ q : Aku tinggal di Indonesia atau belajar Bahasa Inggris sejak SMP
Pernyataan p ∨ q bernilai benar jika Aku benar-benar tinggal di Indonesia atau benar-benar belajar Bahasa Inggris sejak SMP.
4. Implikasi
Dalam implikasi p ⇒ q, p disebut hipotesa (anteseden) dan q disebut konklusi (konsekuen).
Bila kita menganggap pernyataan q sebagai suatu peristiwa, maka kita melihat bahwa “Jika p maka q” dapat diartikan sebagai “Bilamana p terjadi maka q juga terjadi” atau dapat juga, diartikan sebagai “Tidak mungkin peristiwa p terjadi, tetapi peristiwa q tidak terjadi”.
Contoh:
1. jika p : burung mempunyai sayap (B), dan
q : 2 + 3 = 5 (B)
maka p ⇒ q : jika burung mempunyai sayap maka 2 + 3 = 5 (B)
2. jika r : x bilangan cacah (B), dan
s : x bilangan bulat positif (S)
maka p ⇒ q : jika x bilangan cacah maka x bilangan bulat positif (S).
5. Bikondisional (Biimplikasi Atau Pernyataan Bersyarat Ganda)
Perhatikan kalimat: ”Jika segi tiga ABC sama kaki maka kedua sudut alasnya sama besar”. Jelas implikasi ini bernilai benar. Kemudian perhatikan: “Jika kedua sudut alas segi tiga ABC sama besar maka segi tiga itu sama kaki”. Jelas bahwa implikasi ini juga bernilai benar. Sehingga segi tiga ABC sama kaki merupakan syarat perlu dan cukup bagi kedua alasnya sama besar, juga kedua sudut alas sama besar merupakan syarat perlu dan cukup untuk segi tiga ABC sama kaki. Sehingga dapat dikatakan “Segi tiga ABC sama kaki merupakan syarat perlu dan cukup untuk kedua sudut alasnya sama besar”.
Contoh:
1. Jika p : 2 bilangan genap (B)
q : 3 bilangan ganjil (B)
maka p ⇔ q : 2 bilangan genap jhj 3 bilangan ganjil (B
BAB IV TAUTOLOGI, EKIVALEN DAN KONTRADIKSI
1. Tautologi
Perhatikan bahwa beberapa pernyataan selalu bernilai benar. Contoh pernyataan: “Junus masih bujang atau Junus bukan bujang” akan selalu bernilai benar tidak bergantung pada apakah junus benar-benar masih bujang atau bukan bujang.
Jika p : junus masih bujang, dan ~p : junus bukan bujang, maka pernyataan diatas berbentuk p ∨ ~p. (coba periksa nilai kebenarannya dengan menggunakan tabel kebenaran). Setiap pernyataan yang bernilai benar, untuk setiap nilai kebenaran komponen-komponennya, disebut tautologi.
2. Ekivalen
Perhatikan kalimat: “Guru pahlawan bangsa” dan “tidak benar bahwa guru bukan pahlawan bangsa”. Kedua kalimat ini akan mempunyai nilai kebenaran yang sama, tidak perduli bagaimana nilai kebenaran dari pernyataan semula. (Coba periksa dengan menggunakan tabel kebenaran).
Definisi : Dua buah pernyataan dikatakan ekivalen (berekivalensi logis) jika kedua pernyataan itu mempunyai
nilai kebenaran yang sama.
q.Pernyataan p ekivalen dengan pernyataan q dapat ditulis sebagai p
Berdasarkan definisi diatas, sifat-sifat pernyataan-pernyataan yang ekivalen (berekivalensi logis) adalah:
p1. p
p q maka q 2. jika p
r r maka p q dan q 3. jika p
Sifat pertama berarti bahwa setiap pernyataan selalu mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan dirinya sendiri. Sifat kedua berarti bahwa jika suatu pernyataan mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan suatu pernyataan yang lain, maka tentu berlaku sebaliknya. Sedangkan sifat ketiga berarti bahwa jika pernyataan pertama mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan pernyataan kedua dan pernyataan kedua mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan pernyataan ketiga maka nilai kebenaran pernyataan pertama adalah sama dengan nilai kebenaran pernyataan ketiga.
23
Jika pernyataan tertentu p ekivalen dengan pernyataan q, maka pernyataan p dan q dapat saling ditukar dalam pembuktian. Ingat pada pernyataan “segi tiga sama sisi” yang ekivalen dengan “segi tiga yang sudutnya sama besar”. Dalam pembuktian pada geometri sering kali kita menggunakan kedua pernyataan itu dengan maksud yang sama.
3. Kontradiksi
Sekarang perhatikan kalimat : “Pratiwi seorang mahasiswa dan bukan mahasiswa”. Pernyataan ini selalu bernilai salah, tidak tergantung pada nilai kebenaran dari “Pratiwi seorang mahasiswa” maupun “Pratiwi bukan mahasiswa”.
Jika r : Pratiwi mahasiswa maka ~ r : Pratiwi bukan mahasiswa maka pernyataan di atas berbentuk r ∧ ~ r (Coba periksa nilai kebenarannya dengan menggunakan tabel kebenaran).
Setiap pernyataan yang selalu bernilai salah, untuk setiap nilai kebenaran dari komponen-komponen disebut kontradiksi. Karena kontradiksi selalu bernilai salah, maka kontradiksi merupakan ingkaran dari tautologi dan sebaliknya.
BAB V KUANTOR
1. Fungsi Pernyataan
Definisi : Suatu fungsi pernyataan adalah suatu kalimat terbuka di dalam semesta pembicaraan (semesta
pembicaraan diberikan secara eksplisit atau implisit).
Fungsi pernyataan merupakan suatu kalimat terbuka yang ditulis sebagai p(x) yang bersifat bahwa p(a) bernilai benar atau salah (tidak keduanya) untuk setiap a (a adalah anggota dari semesta pembicaraan). Ingat bahwa p(a) suatu pernyataan.
Contoh :
1. p(x) = 1 + x > 5
p(x) akan merupakan fungsi pernyataan pada A = himpunan bilangan asli. Tetapi p(x) bukan merupakan fungsi
pernyataan pada K = himpunan bilangan kompleks.
2. a. Jika p(x) = 1 + x > 5 didefinisikan pada A = himpunan bilangan asli, maka p(x) bernilai benar untuk x = 5, 6, 7, . . .
b. Jika q(x) = x + 3 < 1 didefinisikan pada A = himpunan bilangan asli, tidak ada x yang menyebabkan p(x) bernilai benar. c. Jika r(x) = x + 3 > 1 didefinisikan pada A = himpunan bilangan asli, maka r(x) bernilai benar untuk x = 1, 2, 3, .
Dari contoh di atas terlihat bahwa fungsi pernyataan p(x) yang didefinisikan pada suatu himpunan tertentu akan bernilai benar untuk semua anggota semesta pembicaraan, beberapa anggota semesta pembicaraan, atau tidak ada anggota semesta pembicaraan yang memenuhi.
2. Kuantor Umum (Kuantor Universal)
x p(x) adalah suatu pernyataan yang dapat dibaca sebagai “Untuk setiap x elemen A, p(x) merupakan pernyataan “Untuk semua x, berlaku p(x)”. x, p(x) atau A) p(x) atau x yang dibaca “untuk semua” atau “untuk setiap” disebut kuantor umum. Jika p(x) adalah fungsi proposi si pada suatu himpunan A (himpunan A adalah semesta pembicaraannya) maka ( Simbol
25
Contoh :
1. p(x) = x tidak kekal
p(manusia) = Manusia tidak kekal
{manusia}, p(x) = semua manusia tidak kekal (Benar) x x, p(x) = maka
x p(x) merupakanPerhatikan bahwa p(x) merupakan kalimat terbuka (tidak mempunyai nilai kebenaran). Tetapi
pernyataan (mempunyai nilai benar atau salah tetapi tidak kedua-duanya).
x (x + 3 x r(x) = 2. > 1) pada A = {bilangan asli} bernilai benar.
x (x + 3 x q(x) = 3. < 1) pada A = {bilangan asli} bernilai salah. 3. Kuantor Khusus (Kuantor Eksistensial) ! Untuk menyatakan “Ada hanya satu”. x p(x) adalah suatu pernyataan yang dibaca “Ada x elemen A, sedemikian hingga p(x) merupakan pernyataan” atau “Untuk beberapa x, p(x)”. ada yang menggunakan simbol x! p(x) atau A) p(x) atau x dibaca “ada” atau “untuk beberapa” atau “untuk paling sedikit satu” disebut kuantor khusus. Jika p(x) adalah fungsi pernyataan pada himpunana tertentu A (himpunana A adalah semesta pembicaraan) maka ( Simbol Contoh : 1. p(x) = x adalah wanita p(perwira ABRI) = Perwira ABRI adalah wanita {perwira ABRI}, p(x) = ada perwira ABRI adalah wanita (Benar) x x! p(x) = x p(x) = x (x + 1 x p(x) = 2. < 5) pada A = {bilangan asli} maka pernyataan itu bernilai salah. x (3 + x x r(x) = 3. > 1) pada A = {bilangan asli} maka pernyataan itu bernilai salah.
4. Negasi Suatu Pernyatan yang Mengandung Kuantor
Negasi dari “Semua manusia tidak kekal” adalah “Tidak benar bahwa semua manusia tidak kekal” atau “Beberapa manusia kekal”.
x ~ p(x) bernilai salah. Pernyataan di atas dapat dituliskan dengan simbol : x p(x) bernilai benar, dan “Beberapa manusia kekal” atau Jika p(x) adalah manusia tidak kekal atau x tidak kekal, maka “Semua manusia adalah tidak kekal” atau
x ~ p(x) x p(x)] ~ [
Jadi negasi dari suatu pernyataan yang mengandung kuantor universal adalah ekivalen dengan pernyataan yang mengandung kuantor eksistensial (fungsi pernyataan yang dinegasikan) dan sebalinya :
x ~ p(x) x p(x) ~ [
26
5. Fungsi Pernyataan yang Mengandung Lebih dari Satu Variabel
Didefinisikan himpunan A1, A2, A3, . . ., An, suatu fungsi pernyataan yang mengandung variabel pada himpunan A1 x A2 x A3 x . . . x An merupakan kalimat terbuka p(x1, x2, x3, . . ., xn) yang mempunyai sifat p(a1, a2, a3, . . ., an) bernilai benar atau salah (tidak keduanya) untuk (a1, a2, a3, . . ., an) anggota semesta A1 x A2 x A3 x . . . x An.
Contoh :
M(x,y) adalah fungsi pernyataan pada P x W.1. Diketahui P = {pria}, W = {wanita}. “x menikah dengan y”
2. Diketahu A = {bilangan asli}. “2x – y – 5z < K(x,y,z) adalah fungsi pernyataan pada A x A x A.10”
Suatu fungsi pernyataan yang bagian depannya dibubuhi dengan kuantor untuk setiap variabelnya, seperti contoh berikut ini :
z p(x,y,z) y x y p(x,y) atau x
merupakan suatu pernyataan dan mempunyai nilai kebenaran.
Contoh :
1. P = {Nyoman, Agus, Darman} dan W = {Rita, Farida}, serta p(x,y) = x adalah kakak y.
W, p(x,y) dibaca “Untuk setiap x di P ada y di W sedemikian hingga x adalah kakak y” berarrti y P, x Maka
bahwa setiap anggota P adalah kakak dari Rita atau Farida.
P p(x,y) dibaca “Ada y di W untuk setiap x di P sedemikian hingga x x W y Jika pernyataan itu ditulis sebagai
adalah kakak y” berarti bahwa ada (paling sedikit satu) wanita di W mempunyai kakak semua anggota P.
Negasi dari pernyataan yang mengandung kuantor dapat ditentukan sebagai contoh berikut ini.
y ~ p(x,y) x y p(x,y)] x ~ [ y p(x,y)}] x { ~ [
Contoh :
P = {Nyoman, Agus, Darman} dan W = {Rita, Farida}, serta p(x,y) = x adalah kakak y.
W, p(x,y) y P, x Tuliskan negasi dari pernyataan :
Jawab :
P x W, p(x,y) P, ~ [Ey x W p(x,y)}] y P { x ~ [ W, ~ p(x,y) y ,
Jika kita baca pernyataan semula adalah “Setiap anggota P adalah kakak dari paling sedikit satu anggota W”
Negasi dari pernyataan itu adalah “Tidak benar bahwa setiap anggota P adalah kakak dari paling sedikit satu anggota W” yang ekivalen dengan “Ada anggota P yang bukan kakak dari semua anggota W”.
Coba bandingkan pernyataan verbal ini dengan bentuk simboliknya!
27
BAB VI VALIDITAS PEMBUKTIAN
1. Premis dan Argumen
Logika berkenaan dengan penalaran yang dinyatakan dengan pernyataan verbal. Suatu diskusi atau pembuktian yang bersifat matematik atau tidak, terdiri atas pernyataan-pernyataan yang saling berelasi. Biasanya kita memulai dengan pernyataan-pernyataan tertentu yang diterima kebenarannya dan kemudian berargumentasi untuk sampai pada konklusi (kesimpulan) yang ingin dibuktikan.
Pernyataan-pernyataan yang digunakan untuk menarik suatu kesimpulan disebut premis, sehingga suatu premis dapat berupa aksioma, hipotesa, definisi atau pernyataan yang sudah dibuktikan sebelumnya.
Sedang yang dimaksud dengan argumen adalah kumpulan kalimat yang terdiri atas satu atau lebih premis yang mengandung bukti-bukti (evidence) dan suatu (satu) konklusi. Konklusi ini selayaknya (supposed to) diturunkan dari premis-premis.
2. Validitas Pembuktian (I)
Konklusi selayaknya diturunkan dari premis-premis atau premis-premis selayaknya mengimplikasikan konklusi, dalam argumentasi yang valid, konklusi akan bernilai benar jika setiap premis yang digunakan di dalam argumen juga bernilai benar. Jadi validitas argumen tergantung pada bentuk argumen itu dan dengan bantuan tabel kebenaran.
Bentuk kebenaran yang digeluti oleh para matematikawan adalah kebenaran relatif. Benar atau salahnya suatu konklusi hanya dalam hubungan dengan sistem aksiomatik tertentu. Konklusi itu benar jika mengikuti hukum-hukum logika yang valid dari aksioma-aksioma sistem itu, dan negasinya adalah salah.
Untuk menentukan validitas suatu argumen dengan selalu mengerjakan tabel kebenarannya tidaklah praktis. Cara yang lebih praktis banyak bertumpu pada tabel kebenaran dasar dan bentuk kondisional. Bentuk argumen yang paling sederhana dan klasik adalah Modus ponens dan Modus tolens.
Modus Ponen
qPremis 1 : p
Premis 2 : p
Konklusi : q
q) q, p untuk menyatakan konklusi, seperti p Cara membacanya : Apabila diketahui jika p maka q benar, dan p benar, disimpulkan q benar. (Notasi : Ada yang menggunakan tanda
28
Contoh :
1. Premis 1 : Jika saya belajar, maka saya lulus ujian (benar)
Premis 2 : Saya belajar (benar)
Konklusi : Saya lulus ujian (benar)
Baris pertama dari tabel kebenaran kondisional (implikasi) menunjukkan validitas dari bentuk argumen modus ponen.
Modus Tolen :
qPremis 1 : p
Premis 2 : ~ q
Konklusi : ~ p
Contoh :
2. Premis 1 : Jika hari hujan maka saya memakai jas hujan (benar)
Premis 2 : Saya tidak memakai jas hujan (benar)
Konklusi : Hari tidak hujan (benar)
Perhatikan bahwa jika p terjadi maka q terjadi, sehingga jika q tidak terjadi maka p tidak terjadi.
Silogisma :
qPremis 1 : p
rPremis 2 : q
rKonklusi : p
Contoh :
3. Premis 1 : Jika kamu benar, saya bersalah (B)
Premis 2 : Jika saya bersalah, saya minta maaf (B)
Konklusi : Jika kamu benar, saya minta maaf (B)
Silogisma Disjungtif
qPremis 1 : p
Premis 2 : ~ q
Konklusi : p
29
Jika ada kemungkinan bahwa kedua pernyataan p dan q dapat sekaligus bernilai benar, maka argumen di bawah ini tidak valid.
Premis 1 : p ∨ q
Premis 2 : q
Konklusi : ~ p
Tetapi jika ada kemungkinan kedua pernyataan p dan q tidak sekaligus bernilai benar (disjungsi eksklusif), maka sillogisma disjungtif di atas adalah valid.
Contoh :
1. Premis 1 : Pengalaman ini berbahaya atau membosankan (B)
Premis 2 : Pengalaman ini tidak berbahaya (B)
Konklusi : Pengalaman ini membosankan (B)
2. Premis 1 : Air ini panas atau dingin (B)
Premis 2 : Air ini panas (B)
Konklusi : Air ini tidak dingin (B)
3. Premis 1 : Obyeknya berwarna merah atau sepatu
Premis 2 : Obyek ini berwarna merah
Konklusi : Obyeknya bukan sepatu (tidak valid)
Konjungsi
Premis 1 : p
Premis 2 : q
qKonklusi : p
q benar.Artinya : p benar, q benar. Maka p
Tambahan (Addition)
Premis 1 : p
qKonklusi : p
q benar (tidak peduli nilai benar atau nilai salah yang dimiliki q).Artinya : p benar, maka p
30
Dua bentuk argumen valid yang lain adalah Dilema Konstruktif dan Dilema Destruktif.
Dilema Konstruktif
s) (r q) Premis 1 : (p
rPremis 2 : p
sKonklusi : q
Dilema konstruktif ini merupakan kombinasi dua argumen modus ponen (periksa argumen modus ponen).
Contoh :
Premis 1 : Jika hari hujan, aku akan tinggal di rumah; tetapi jika pacar datang, aku pergi berbelanja.
Premis 2 : Hari ini hujan atau pacar datang.
Konklusi : Aku akan tinggal di rumah atau pergi berbelanja.
Dilema Konstruktif :
s) (r q) Premis 1 : (p
~ sPremis 2 : ~ q
~ rKonklusi : ~ p
Dilema destruktif ini merupakan kombinasi dari dua argumen modus tolens (perhatikan argumen modus tolen).
Contoh :
Premis 1 : Jika aku memberikan pengakuan, aku akan digantung; dan jika aku tutup mulut, aku akan ditembak
mati.
Premis 2 : Aku tidak akan ditembak mati atau digantung.
Konklusi : Aku tidak akan memberikan pengakuan, atau tidak akan tutup mulut.
2. Validitas Pembuktian (II)(Hanya untuk pengayaan)
Sekarang kita akan membicarakan pembuktian argumen yang lebih kompleks dengan menggunakan bentuk-bentuk argumen valid di atas.
Contoh :
t)] (s [p q) Diberikan argumen : (p
r q) (p
ts
Apakah argumen di atas valid ?
31
Jawab :
Berikut ini adalah langkah-langkah pembuktian yang dilakukan :
t) Premis (s [p q) (p
r Premis q) (p
q 2, Penyederhanaanp
t) 1, 3, Modus Ponen (s p
p 3, Penyederhanaan
t 4, 5, Modus Ponens
s 6, Penyederhanaan
t 7, Tambahan s
Jadi argumen tersebut di atas adalah absah (valid).
Jika pengetahuan logika diperlukan atau pengetahuan aljabar diperlukan, maka semua orang akan belajar matematika. Pengetahuan logika diperlukan dan pengetahuan geometri diperlukan. Karena itu semua mahasiswa akan belajar matematika. Validkah argumentasi di atas ?
Jawab :
Kita akan menerjemahka argumen- argumen di atas ke bentuk simbol-simbol.
Misal : l = pengetahuan logika diperlukan,
a = pengetahuan aljabar diperlukan,
m = Semua orang akan belajar matematika,
g = pengetahuan geometri diperlukan.
Maka :
m Premis a) (l
g Premisl
l 2, Penyederhanaan
a 3, Tambahanl
m 1, 4, Modus Ponen
Jadi argumen di atas adalah valid.
Demikianlah, kita dapat membuktikan argumen - argumen yang tampaknya berbelit-belit dengan menggunakan argumentasi valid yang telah kita miliki. Perhatikan baik-baik cara menerjemahkan argumentasi itu menjadi simbol-simbol.
32
Pembuktian Tidak Langsung
Pembuktian-pembuktian yang telah kita bicarakan di atas, merupakan pembuktian yang langsung. Suatu argumen adalah valid secara logis jika premis-premisnya bernilai benar dan konklusinya juga bernilai benar.
Berdasarkan pemikiran ini, jika premis-premis dalam suatu argumen yang valid membawa ke konklusi yang bernilai salah, maka paling sedikit ada satu premis yang bernilai salah.
Cara pembuktian ini disebut pembuktian tidak langsung atau pembuktian dengan kontradiksi atau reductio ad absurdum.
Contoh :
Premis 1 : Semua manusia tidak hidup kekal (Benar)
Premis 2 : Chairil Anwar adalah manusia (Benar)
Buktikan bahwa “Chairil Anwar tidak hidup kekal” (premis 3) dengan melakukan pembuktian tidak langsung.
Bukti :
Kita misalkan bahwa : Chairil Anwar hidup kekal (premis 4) (dan kita anggap bernilai benar).
Maka berarti : Ada manusia hidup kekal (premis 5).
Tetapi premis 5 ini merupakan negasi dari premis 1. Yang sudah kita terima kebenarannya.
Oleh karena itu premis 5 ini pasti bernilai salah.
Karena premis 5 bernilai salah maka premis 4 juga bernilai salah. Sebab itu premis 3 bernilai benar.
Jadi terbukti bahwa “Chairil Anwar tidak hidup kekal”.
Ringkasannya, kita dapat membuktikan bahwa suatu pernyataan bernilai benar, dengan menunjukkan bahwa negasi dari pernyataan itu salah. Ini dilakukan dengan menurunkan konklusi yang salah dari argumen yang terdiri dari negasi pernyataan itu dan pernyataan atau pernyataan-pernyataan lain yang telah diterima kebenarannya.
21.56
anything
, dan logaritma. Sedangkan sebagian himpunan dalam aljabar adalah himpunan-himpunan bilangan.
)
= Natural),
= dari bahasa Jerman, Zahlen):
, dimana m dan n adalah bilangan bulat dan 
, disebut bilangan-bilangan rasional (
= Quotient ).
merupakan panjang sisi miring sebuah segi tiga siku-siku dengan sisi 1 , bilangan ini tidak dapat dituliskan sebagai suatu hasil bagi dua bilangan bulat. Jadi 
.
.
dan 
memiliki bentuk desimal yang bilangan-bilangannya berulang dengan urutan tertentu. Sedangkan dua bilangan terakhir yaitu 
(pi) bentuk bilangan desimalnya tidak berulang (sembarang).
Jadi besarnya komisi yang diterima oleh salesman itu sebesar. Rp. 300.000,00
Jadi, kita harus membayar sebesar:
2. Sifat komutatif pada penjumlahan
3. Sifat asosiatif pada penjumlahan
4. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan
6. Sifat invers pada penjumlahan
Perkalian:
2. Sifat komutatif pada perkalian
3. Sifat asosiatif pada perkalian
4. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan
6. Sifat invers pada perkalian tidak berlaku, sebab 0 tidak mempunyai invers.
)
Subscribe
Follow me!
